【問題】
空欄に最も適当なものを下の①〜④のうちから一つずつ選びなさい。

John who works at the company in Nagatacho has been ( ) the ID card he lost yesterday.

① discovering ② finding out ③ looking for ④ searching

【解説】
探しているという意味の単語を選べば良いのは比較的簡単だと思います。
では単語の意味を見てみましょう。

① discovering 「発見する」
② finding out 「見つける」
③ looking for ~「~を探す」
④ searching 「探す」

ing形に全てなっていますが今はそれぞれ上記の通りです。
従って①②は「発見する、見つける」なので選択する事は出来ません。発見してしまえいばそこで動作は終わるので「昨日から〜している。」という問題文にはあいません。
次に、③と④の違いについてですが
まず先に答えは「looking for」の③が正解
ではどうして④searchingが選択肢としてふさわしくないかというと
searchは目的語に捜す場所を取ります。捜す対象を表現したい時は、
search A for~　「〜を求めてA（場所）を捜す」
search for~　　「〜を捜す」
という形をとります。

この問題文にはforがなく空欄の後ろに捜す対象がきているので④のsearchingを入れる事が出来ないのです。

【訳文】
永田町にある会社で働くジョンは昨日なくした鍵をずっと探している。